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LLE、 ISOMAP、 LE 和 LTSA 都属于流形学习研究的代表性文献，在流形学习领域具有划时代的意义，但这几种算法都是非线性特征提取方法，从高维空间到低维空间没有明确的映射关系，无法直接处理新样本。 我们假设背景空间是三维欧氏空间，流形是米勒佛曲面，如图12所示。 我们在弥勒佛表面上稠密采样，然后训练一个自动编码器，得到编码映射和解码映射。 编码映射将曲面映射到隐空间即二维欧氏空间，如图13所示；解码映射将隐空间表示映射回背景空间，得到重建流形，如图14所示。 我们采用ReLU作为激活函数，编码解码映射为分片线性映射。 编码映射将背景空间分解为很多胞腔，在每个胞腔内编码映射为线性映射，图13右帧画出了背景空间的胞腔分解。 我们从图中可以看到重建流形比较精确地逼近了原始的输入流形，几乎保留了所有的几何细节。
如果流形嵌入到欧氏空间中，则欧氏空间被称为是背景空间。 关于聚类分布定律，目前有相对完善的理论基础-最优传输理论，和较为实用的算法，例如基于凸几何的蒙日-安培方程解法【2】，这些方法可以测量概率分布之间的距离，实现概率分布之间的变换【3】。 关于流形分布定律，目前理论发展不太完备，很多时候学习效果严重依赖于调参。 但是很多实际应用问题，都可以用流形的框架来建模，从而用几何的语言来描述、梳理，用几何理论工具来加以解决，进而有望从含混模糊的经验性试错，进化到思路清晰的定量研究。 这三类问题的理论根基，我们认为很大部分上仰仗共形几何。
另一方面，随着GPU的发展，计算能力空前高涨。 一些以前非常困难的几何偏微分方程的求解变得相对容易，在个人电脑上PC上就可以很容易地进行计算。 最简单的来说，比如给两副曲面，一张是平静的脸，一张是带表情的脸，要如何找有意义的微分同胚。 迄今为止机器学习是做不了这个的，通过微分几何倒是有很多方法，所以这个方面还在发展。 一旦我们掌握了流形在手，我们可以完成很多传统方法无法想象的应用，也可以革新很多传统方法所涉猎的经典应用。
下面我们通过几个实例来彰显流形思维框架的威力。 电子科技大学李纯明教授为ISICDM会议的发起人和程序主席，负责会议主题的确立、报告专家的邀请与会议内容的组织。 我们再看下角度的变化，在平面上放上棋盘格。 棋盘格每个角都是直角，把它拉回到三维曲面上，我们可以看到每个棋盘格的大小发生了改变，但从法方向看下去的话，每个交角都还是直角。
作为对比我们看一下，把同一张脸映射到同一个平面上。 我们在可以在平面圆盘上放许多无穷小圆，然后拉回来看它们在曲面上的形状。 上面一行是保角变换，保持了小圆的形状不变。 下面是一般的微分同胚，它把平面上的无穷小圆，变成了曲面上的无穷小椭圆。
这里，所有的映射都是用分片线性映射来逼近的。 注意，这里参数化映射并不唯一，这会带来隐空间概率密度的变化，后面我们会对此进行详细讨论。 我们知道曲面到平面区域的微分同胚有无穷多个，这些微分同胚构成的空间是无穷多维，所以很难控制；从曲面到平面的黎曼映照也有无穷多个，但是所有的黎曼映照构成的空间只有三维。 所以维数非常有限，只需要在曲面边界上固定三个点，映射就可以被唯一固定。 很多时候你可能想要找一个典范映射，第一行的保角变换就是比较好的选择；如果你想研究更为广义的微分同胚，用下方的。 共形几何涵盖的范围很广，其中拟共形变换包括了所有可能的微分同胚。 例三：我们考察所有的rgb彩色图像所构成的空间，记为背景空间。 空间中所有人脸的图像所构成的子集记为S，我们来分析一下人脸图像集合是否符合流形分布定律。
这些问题，工程上有自己的提法，翻译成数学语言表达以后相对比较明确。 历史上来看，这些问题在共形几何中都有比较完美的理论解答。 这些信息非常容易获得，但处理起来非常困难。 这是我的一个学生，我把他的三维脸部曲面扫描下来，可以分析他的表情，做动态的跟踪。 这里的困难在于，第一个如何把实际问题看透，翻译成数学语言；第二个如何把数学理论看透，翻译成计算机语言。
我们已经训练好了网络，得到了流形的参数表示，一张白噪声图像就是一个局部参数（编码），其解码后的像在人脸图像的重建模型上，因而是一张人脸图像。 我们并非妙手空空，而是拥有了丰富的先验知识：所有人脸图像构成的流形，这一流形被其参数化映射所表示，而这一映射被神经网络的权重所编码。 深度学习的主要目的和功能之一就是学习编码映射和解码映射。 这张图显示的就是共形变换的第一个优点，就是降维，把三维变成二维。
丘成桐先生和顾险峰博士团队，将微分几何，代数拓扑，黎曼面理论，偏微分方程与计算机科学相结合，创立跨领域学科”计算共形几何”，并广泛应用于计算机图形学，计算机视觉，几何建模，无线传感器网络，医学图像等领域。 雷锋网 AI 科技评论：在2017图像计算与数字医学国际研讨会（ISICDM）上，顾险峰教授应邀出席并做了主题为”医学图像中的几何方法”的学术报告，介绍了基于他们提出的共形几何理论的种种图像处理方法以及在医学图像中的应用实例。 在图嵌入中，构建一个本征图用于描述数据中有价值的统计或几何特征，同时构建一个惩罚图用于描述数据中需要抑制的统计或几何特征；本征图和惩罚图的构建可扩展到线性空间、核空间和张量空间。 我们也试图用机器学习的方法做其中的一些问题，发现非常困难。 基于统计的方法通过学习，揭示曲面的内在结构和曲面之间的微分同胚，效果并不好；分类的效果相对让人满意一些。 所以目前这个领域机器学习还没有大规模的介入，还是基于数学方法。 那么在现实中，我们如何学习人脸图像构成的流形呢？
对于传统方法而言，人脸图像年龄变换是难以完成的任务。 用深度学习的流形框架，我们可以给出清晰的解决方案。 这显示了用深度学习方法去噪的某种局限性，首先我们必须拥有相应的流形，其次不同类型的图像，需要不同的流形。 这种局限诠释了深度学习仍属于弱人工智能范畴。 我们是从2000年开始做的，主要因为这时开始三维数据变得非常多，一方面三维扫描技术有大幅度发展，人们可以很轻易地得到三维曲面；医学图像的发展也非常快，我们可以得到大量的医学图像。 从历史上来说，共形几何是多个领域的交叉点。
